什么是微分形式啊？

从我们学过的《多元微积分》中，可以提取出如下记忆的碎片：

如果 n 维欧氏空间 R? 上的 多元函数 f: R? → R，存在任意阶连续偏导，则称 f 为光滑函数。将 R? 上 的全体光滑函数，记为：C^∞。

给定任意 光滑 f ∈ C^∞，在任意一点 x = (x1, ..., x?) ∈ R? 处的 增量函数（Δx = (Δx1, ..., Δx?) ∈ R?）：

在 x 点的 附近的邻域 U 内，近似于 一个 称为 f 的（全）微分 的 线性函数：

即，有（全）微分式：

其中，o(ρ) 称为 ρ 的无穷小量，满足：

注：这里 变量 的上标，和 变量下标一样，表示变量序号而非指数。

设，e? = (1, 0, ..., 0), ..., e_n = (0, ..., 0, 1) 是 R? 的标准单位正交基，则 Δx 可以表示为：

Δx = Δx1e? + ... + Δx?e_n

再根据 线性函数的性质（对于任意 Δx, Δy ∈ R?, λ ∈ R）：

A(Δx + Δy) = A(Δx) + A(Δy)

A(λΔx) = λA(Δx)

有，

df = A(Δx) = A(Δx1e? + ... + Δx?e_n) = Δx1A(e?) + ... + Δx?A(e_n)

当 A 确定是，A(e?), ..., A(e_n) 都是 常数，令，K? = A(e?), ..., K_n = A(e_n)，于是 f 的微分 可以改写为：

df = K?Δx1 + ... + K_nΔx?

对于任意 K?，令 Δx? = 0 (j ≠ i) ，则，

|Δx| = √(Δx?Δx) = √(Δx1Δx1 + ... + Δx?Δx?) = √(Δx? Δx? ) = |Δx? |

进而 从 f 的 微分式 得到：

Δf = K?Δx? + o(|Δx? |)

K? = Δf /Δx? - o(|Δx? |)/Δx?

然后，等式两边取极限，有，

令，

则，最终 f 的微分，改写为：

特别地，当 n = 1，即， f 是一元函数，时，有，

df = f" Δx

考虑 R1 上的 一元函数 y = x，y 的微分为，

dy = y"Δx = 1Δx = Δx

而，因为 y = x，所以，

dy = dx

于是我们得到：

最终， f 的微分 改写为：

可以证明如下引理：

对于经过 x ∈ R? 点 的 任意 光滑函数 f ∈ C^∞ ，存在 一组光滑函数 g? ∈ C^∞ （i = 1, ..., n） 满足：

并且，对于 x 附近邻域 U 内任意 一点 u = (u1, ..., u?) ，都有：

令 u = x + Δx，则 上面的引理，可改写为：

如果，将 dx1, ..., dx? 看做 一组基，C^∞ 中的 光滑函数 标量，则 上面的结果 表明：任意一个 x 点处 的增量函数 Δf，在 U 内可以被 dx1, ..., dx? 线性表示。

于是，以 dx1, ..., dx? 为基 以 C^∞ 中的 光滑函数 为 标量，可以张成 一个 n维线性空间，记为 V1。它是 U 内 x 点处的 增量函数 的 全体。对于任意 ω ∈ V1，都有：

ω = g?dx1 + ... + g_ndx?

称为 1 次微分形式。

一般我们不去讨论 dx? 本身的意义只是看做一个形式，但是如果深究，则可以考虑 下标函数：
e?(x) = x?
有，

定